respectivement parallèles aux siens ; ces côtés, par leur rencontre avec ceux du quadrilatère, détermineront douze points ; et il s’agit de démontrer que ces douze points, déjà distribués trois à trois sur les quatre côtés du quadrilatère proposé, le seront aussi trois à trois sur les quatre côtés d’un nouveau quadrilatère différent de celui-là.
Pour bien faire comprendre quels sont ceux de ces douze points que nous devons démontrer être en ligne droite, remarquons qu’en prenant trois à trois les quatre côtés de notre quadrilatère, on obtient quatre triangles tous inscrits au triangle en prenant le mot inscrit dans le sens le plus large ; c’est-à-dire, tous tels que les trois sommets se trouvent situés sur les directions de ses côtés. Or, pour chaque triangle, les trois points qu’il faut démontrer être en ligne droite sont ceux où ses côtés sont coupés par ceux des côtés du triangle PQR qui se trouvent parallèles à ceux du triangle qui contiennent les sommets opposés. Ainsi, en particulier, pour le triangle par exemple, les points en ligne droite seront
et il nous suffira même de démontrer la proposition pour ces trois points.
Pour cela, rappelons d’abord que, dans tout quadrilatère complet, chacune des trois diagonales est coupée par les deux autres en parties proportionnelles, ce qui donne
