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et $\mathrm {B}$ un troisième sommet ; et soient menées sur $\mathrm {BA}$ et $\mathrm {BC}$ les perpendiculaires $\mathrm {IE}$ et $\mathrm {IF} .$ On aura $\mathrm {AE} =a,$ $\mathrm {CF} =c,$ $\mathrm {IE=IF} =r,$ $\mathrm {AI} =R+x,$ $\mathrm {CI} =R-x,$ et par suite

$ac=r^{2},\qquad a^{2}=(\mathrm {R} +x)^{2}-r^{2},\qquad c^{2}=(\mathrm {R} -x)^{2}-r^{2},$

d’où

$a^{2}-c^{2}=4\mathrm {R} x,\qquad a^{2}+c^{2}=2x^{2}+2\left(\mathrm {R} ^{2}-r^{2}\right)\,;$

ajoutant et retranchant tour à tour à cette dernière équation, l’équation $2ac=2r^{2},$ il viendra

${\begin{aligned}&(a+c)^{2}=2x^{2}+2R^{2},\\&(a-c)^{2}=2x^{2}+2\left(R^{2}-2r^{2}\right)\end{aligned}}$

d’où, en multipliant,

$\left(a^{2}-c^{2}\right)^{2}=4\left\{x^{4}+\left(\mathrm {R} ^{2}-2r^{2}\right)x^{2}+\mathrm {R} ^{2}\left(\mathrm {R} ^{2}-2r^{2}\right)\right\}.$

Mais on a, d’un autre côté,

$\left(a^{2}-c^{2}\right)^{2}=4\mathrm {R} x\,;$

égalant donc ces deux valeurs, transposant et réduisant, on aura finalement

$x^{4}-2\left(\mathrm {R} ^{2}+r^{2}\right)x^{2}+\mathrm {R} ^{2}\left(\mathrm {R} ^{2}-2r^{2}\right)=0\,;$

d’où

$x={\sqrt {\mathrm {R} ^{2}+r^{2}\pm {\sqrt {4\mathrm {R} ^{2}+r^{2}}}}}.$

On lèvera l’ambiguïté du signe en observant que lorsque $\mathrm {R} ^{2}=2r^{2}$ la valeur de $x$ doit être nulle, ce qui prouve que c’est le signe inférieur qui doit être admis.