Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/150

$a^{2}+r^{2},\ b^{2}+r^{2},\ c^{2}+r^{2},\ d^{2}+r^{2},$ il viendra, toutes réductions faites,

$4\mathrm {IK\times IL} =(a+c)(b+d)-4r^{2}.$

V. Le triangle $\mathrm {AIP}$ donne $\mathrm {{\overline {IP}}^{2}={\overline {AI}}^{2}+{\overline {AP}}^{2}-2AI\times AP} Cos.\mathrm {IAP} .$ Le triangle $\mathrm {AIC}$ donne d’ailleurs

$Cos.\mathrm {IAC} =\mathrm {\frac {{\overline {AI}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}-{\overline {CI}}^{2}}{2AI\times AC}} \,;$

donc

$\mathrm {{\overline {IP}}^{2}={\overline {AI}}^{2}+{\overline {AP}}^{2}-AP.{\frac {{\overline {AI}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}-{\overline {CI}}^{2}}{AC}}} =$

$\mathrm {{\overline {AI}}^{2}+{\overline {AP}}^{2}-AP\times AC-{\frac {AP}{AC}}\left({\overline {AI}}^{2}-{\overline {CI}}^{2}\right)}$

substituant donc pour $\mathrm {{\overline {AI}}^{2},{\overline {AP}}^{2},AP\times AC,{\frac {AP}{AC}},CI} ,$ leurs valeurs, il viendra

${\overline {\mathrm {IP} }}^{2}=a^{2}+r^{2}+{\frac {a^{2}\left\{(a+c)(b+d)+4r^{2}\right\}}{(a+c)(b+d)}}$

$-{\frac {a(a+c)\left\{(a+c)(b+d)+4r^{2}\right\}}{(a+c)(b+d)}}-{\frac {a\left(a^{2}-c^{2}\right)}{a+c}}\,;$

ou bien

${\overline {\mathrm {IP} }}^{2}=2r^{2}-{\frac {r^{2}\left\{(a+c)(b+d)+4r^{2}\right\}}{(a+c)(b+d)}}=r^{2}-{\frac {4r^{4}}{(a+c)(b+d)}}\,;$

d’où

$(a+c)(b+d)={\frac {4r^{2}}{r^{2}-{\overline {\mathrm {IP} }}^{2}}}\,;$

donc

$\mathrm {IK\times IL} ={\frac {r^{2}.{\overline {\mathrm {IP} }}^{2}}{r^{2}-{\overline {\mathrm {IP} }}^{2}}}\,;$

donc aussi

$\mathrm {OI} ={\frac {r^{2}.\mathrm {IP} }{r^{2}-{\overline {\mathrm {IP} }}^{2}}}.$

THÉORÈME XV. Les quadrilatères circonscrits à un même cercle de telle sorte que leurs diagonales se coupent au même point, et qu’en outre les droites qui joignent les points de contact des côtés opposés soient rectangulaires, sont tous inscriptibles à un même cercle.

Démonstration. En effet, les quadrilatères étant tels qu’il vient d’ètre dit, il résulte du Théorème XI que ces quadrilatères sont