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${\overline {\mathrm {AC} }}^{2}={\frac {(a+c)\left\{(a+c)(b+d)+4r^{2}\right\}}{b+d}},$

${\overline {\mathrm {BD} }}^{2}={\frac {(b+d)\left\{(a+c)(b+d)+4r^{2}\right\}}{a+c}}.$

III. On a encore

$\mathrm {AP:BP:CP:DP:AC:BD} ::a:b:c:d:(a+c):(b+d)$

d’où l’on tire

${\begin{array}{ll}{\overline {\mathrm {AP} }}^{2}={\cfrac {a^{2}\left\{(a+c)(b+d)+4r^{2}\right\}}{(a+c)(b+d)}},&{\overline {\mathrm {BP} }}^{2}={\cfrac {b^{2}\left\{(a+c)(b+d)+4r^{2}\right\}}{(a+c)(b+d)}},\\\\{\overline {\mathrm {CP} }}^{2}={\cfrac {c^{2}\left\{(a+c)(b+d)+4r^{2}\right\}}{(a+c)(b+d)}},&{\overline {\mathrm {DP} }}^{2}={\cfrac {d^{2}\left\{(a+c)(b+d)+4r^{2}\right\}}{(a+c)(b+d)}}.\end{array}}$

IV. Du centre $\mathrm {O}$ du cercle circonscrit abaissons des perpendiculaires $\mathrm {OK}$ et $\mathrm {OL}$ sur les diagonales $\mathrm {AC}$ et $\mathrm {BD}$ du quadrilatère ; les points $\mathrm {K}$ et $\mathrm {L}$ seront les milieux de ces diagonales ; et la droite $\mathrm {KL}$ qui les joint passera (Théor. VIII) par le centre $\mathrm {I}$ du cercle inscrit. Le quadrilatère $\mathrm {OLPK,}$ ayant deux angles droits opposés $\mathrm {K}$ et $\mathrm {L,}$ sera inscriptible (Théor. I) ; et l’on aura par conséquent (Théor. II) $\mathrm {IO\times IP=IK\times IL} .$

Cela posé, on aura, d’après un théorème d’Euler $\mathrm {{\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}+4{\overline {KL}}^{2}}$ ou bien $\mathrm {{\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}+4{\overline {IK}}^{2}+8IK\times IL} =(a+b)^{2}+(b+c)^{2}+(c+d)^{2}$ $+(d+a)^{2}.$ Mais on tire des triangles $\mathrm {AIC,BID}$

$2\mathrm {{\overline {IK}}^{2}={\overline {AI}}^{2}+{\overline {CI}}^{2}-{\frac {{\overline {AB}}^{2}}{2}},\qquad 2{\overline {IL}}^{2}={\overline {BI}}^{2}+{\overline {DI}}^{2}-{\frac {{\overline {BD}}^{2}}{2}}} \,;$

substituant donc, il viendra

$\mathrm {2\left({\overline {AI}}^{2}+{\overline {BI}}^{2}+{\overline {CI}}^{2}+{\overline {DI}}^{2}\right)+8IK\times IL}$

$=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)+2(a+c)(b+d)\,;$

substituant enfin pour $\mathrm {{\overline {AI}}^{2},{\overline {BI}}^{2},{\overline {CI}}^{2},{\overline {DI}}^{2}}$ leurs valeurs respectives