on prouvera, d’une manière semblable, que la droite divise en deux parties égales l’angle donc les deux droites et qui divisent en deux parties égales les angles adjacens et sont perpendiculaires l’une à l’autre.
THÉORÈME XI. Réciproquement, si, dans un quadrilatère circonscrit au cercle, les droites qui joignent les points de contact des côtés opposés sont perpendiculaires l’une à l’autre, ce quadrilatère sera inscriptible à un autre cercle.
Démonstration. En effet, dans les deux quadrilatères les angles en sont égaux comme droits ; de plus, il est aisé de voir que les angles et du premier sont les supplémens respectifs des angles et du second ; donc leurs angles Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikisource.org/v1/ » :): {\displaystyle \mathrm{A}} et sont aussi supplément l’un de l’autre ; ce qui prouve que le quadrilatère déjà circonscrit à un cercle, est inscriptible à un autre cercle.
THÉORÈME XII. Dans tout quadrilatère à la fois inscrit à un cercle et circonscrit à un autre, les centres des deux cercles et le point de concours des diagonales appartiennent tous trois à une même ligne droite.
Démonstration. En effet, le point étant le pôle commun de la droite par rapport aux deux cercles, leurs centres et doivent se trouver tous deux sur la perpendiculaire abaissée de ce point sur cette droite.
THÉORÈME XIII. Dans tout quadrilatère à la fois inscriptible et circonscriptible, les distances des sommets au point de concours des diagonales sont proportionnelles aux tangentes menées de ces sommets au cercle inscrit et terminées à ce cercle. Les diagonales de ce même quadrilatère sont proportionnelles aux sommes de tangentes menées de leurs extrémités au même cercle.
Démonstration. En effet, le triangle dans lequel la droite divise l’angle en deux parties égales donne Les triangles donnent, pour les
