Occupons-nous présentement des propriétés des quadrilatères à la fois inscriptibles et circonscriptibles au cercle et que nous avons annoncé avoir ici principalement en vue.
Soient 
et 
(fig. 1) les centres des deux cercles, et 
un quadrilatère à la fois inscrit au premier et circonscrit au dernier, de manière que ses côtés consécutifs 
touchent ce dernier en 
Soient menées 
formant un nouveau quadrilatère inscrit au cercle 
Les diagonales 
des deux quadrilatères se couperont toutes quatre en un même point 
(Théor. IX). En outre, les trois droites 
et 
concourront en un même point 
les trois droites 
et 
en un même point 
les trois droites 
et 
en un même point 
et enfin les trois droites 
et 
en un même point 
et les quatre points 
appartiendront à une même ligne droite dont le point sera le pôle.
Désignons par 
le rayon du cercle inscrit, par 
le rayon du cercle circonscrit, et par 
respectivement, les tangentes 
THÉORÈME X. Dans tout quadrilatère à la fois inscrit à un cercle et circonscrit à un autre, les droites qui joignent les points de contact des côtés opposés du quadrilatère avec le cercle inscrit divisent en deux parties égales les quatre angles formés par les deux diagonales, et sont par conséquent perpendiculaires l’une à l’autre.
Démonstration. En effet, le quadrilatère étant inscrit au cercle 
les deux angles 
sont égaux comme inscrits au même arc. Les deux angles 
sont aussi égaux, comme formés par une même corde 
et les tangentes à ses deux extrémités. Donc les deux triangles 
et 
sont équiangles ; d’où il suit que 
mais on a 
comme opposés au sommet ; donc, 
donc la droite 
divise en deux parties égales l’angle 
et
