Et réciproquement, tout quadrilatère dans lequel les sommes de côtés opposés sont égales est circonscriptible au cercle.
Je me suis occupé de cette réciproque à la page 49 du VI.e volume des Annales, et j’ai fait voir (page 50, note) comment elle pouvait être démontrée par la théorie des contacts des cercles.
THÉORÈME VII. Dans tout quadrilatère circonscrit, la somme de deux angles opposés quelconques est égale à la somme des angles opposés aux sommets formés par les droites qui joignent les points de contact des côtés opposés ; pourvu que l’on prenne ceux qui regardent les deux angles restans du quadrilatère.
Ce théorème, dont la démonstration est fort simple, est dû à M. Poncelet, (Propriétés projectives, pag. 284).
THÉORÈME VIII. Dans tout quadrilatère circonscrit, la droite qui joint les milieux des diagonales passe par le centre du cercle.
Ce beau théorème est dû à Newton ; mais il n’avait pas encore été démontré, pour le cercle en particulier, d’une manière élémentaire. Je l’ai démontré par la théorie des contacts (Annales, tom. XIV, pag. 309).
Si l’on considère deux quadrilatères dont l’un soit inscrit et l’autre circonscrit à un même cercle, et qui soient en outre inscrits l’un à l’autre, on aura le théorème suivant, que j’ai aussi démontré par la théorie des contacts (Annales, tom. XIII, pag. 305, et tom. XIV, pag. 43.
THÉORÈME IX. Si deux quadrilatères sont l’un inscrit et l’autre circonscrit à un même cercle, de telle sorte que les sommets de l’inscrit soient les points de contact du circonscrit, 1.o les diagonales des deux quadrilatères se couperont toutes quatre au même point ; 2.o les points de concours des directions des côtés opposés des deux quadrilatères appartiendront tous quatre à une même ligne droite ; 3.o le point de concours des quatre diagonales sera le pôle de la droite qui contiendra les points de cours des directions des côtés opposés.
