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placée en $\mathrm {B} '$ en deux autres placées en $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C} ,$ les deux masses placées en $\mathrm {B}$ en vertu de cette double décomposition auront respectivement pour expression

$P.\mathrm {\frac {AA'}{AB}} ,\qquad P.\mathrm {\frac {B'C}{BC}} ,$

et pourront conséquemment être remplacées par la masse unique

$P\mathrm {\left({\frac {AA'}{AB}}+{\frac {B'C}{BC}}\right)} ,$

appliquée au même point $\mathrm {B.}$ Si, lorsque ces deux masses seront parvenues en $\mathrm {A} ''$ et $\mathrm {B'',}$ on opère une semblable décomposition, la masse unique appliquée en $\mathrm {B}$ aura pour expression

$P\mathrm {\left({\frac {AA''}{AB}}+{\frac {B''C}{BC}}\right)} ,$

c’est-à-dire,

$P.\mathrm {\left\{\left({\frac {AA'}{AB}}+{\frac {B'C}{BC}}\right)+\left({\frac {A'A''}{AB}}-{\frac {B'B''}{BC}}\right)\right\}} \,;$

mais, par hypothèse,

$\mathrm {{\frac {A'A''}{AB}}={\frac {B'B''}{BC}}} \,;$

donc cette masse aura simplement pour expression

$P\mathrm {\left({\frac {AA'}{AB}}+{\frac {B'C}{BC}}\right)} \,;$

c’est-à-dire qu’elle sera la même que dans le premier cas, ce qui démontre-le premier des deux théorèmes énoneés.

2.^o Si nous supposons, en second lieu, les masses inégales, en les représentant respectivement par $P$ et $Q,$ la masse unique appliquée en $\mathrm {B}$ sera, en vertu de la première décomposition

$P.\mathrm {{\frac {AA'}{AB}}+Q.{\frac {B'C}{BC}}} \,;$

et, en vertu de la seconde,