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lement qu’à une seule ; car, en mettant pour $x$ et $y$ dans l’équation (1) les valeurs données par les équations (4) et (5), on obtient entre ces deux constantes, l’équation de relation

$\operatorname {F} (a,b)=0.$

Soit prise, pour exemple, l’équation

$y-p^{2}=\operatorname {Log} .(x-2p),$

dans laquelle les fonctions $p.$ et $2p$ satisfont à la condition que nous avons supposé avoir lieu. Pour en avoir l’intégrale, il suffira d’éliminer $p$ entre les deux équations

$x=2p+a,\qquad y=p^{2}+b,$

ce qui donnera

$4(y-b)=(x-a)^{2}\,;$

équation dans laquelle les deux constantes $a$ et $b$ seront liées par la relation $b=\operatorname {Log} .a\,;$ de sorte qu’on pourra écrire

$4(y-\operatorname {Log} .a)=(x-a)^{2},$

comme on peut d’ailleurs le vérifier par la différentiation et l’élimination de $a$^[1].

La classe d’équations que nous venons de considérer comprend toutes celles dont l’intégrale complète représente une suite de courbes égales et parallèles.

Metz, 16 juin 1824.

1. Ce problème est l’inverse de celui qui a été traité à la page 294 du précédent volume.
   J. D. G.