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ANALISE TRANSCENDANTE.

Note sur l’intégration d’une classe particulière d’équations ;

Par M. J. L. Woisard, professeur aux écoles d’artillerie.

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Soit une équation différentielle du premier ordre de la forme

$\operatorname {F} (x-M,y-N)=0,\qquad$(1)

dans laquelle $M$ et $N$ sont supposées des fonctions de $p$ ou ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\,;$ si ces fonctions sont telles qu’on ait

$\left({\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} p}}\right)=p\left({\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} p}}\right),\qquad$(2)

l’intégration pourra être exécutée avec la plus grande facilité, ainsi qu’on va le voir.

En différentiant la proposée, elle prendra la forme

$G\operatorname {d} x+H\operatorname {d} y-G{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} p}}\operatorname {d} p-H{\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} p}}\operatorname {d} p=0\,;\qquad$(3)

$G$ et $H$ étant des fonctions de $x-M$ et $y-N.$ Remplaçant dans cette équation $\operatorname {d} y$ par $\operatorname {d} x$ et ${\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} p}}$ par $p{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} p}},$ elle deviendra