Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/125

en supposait une seule égale à $t,$ on retomberait dans le cas discuté ci-dessus, et conséquemment des deux restantes, l’une devrait être plus grande et l’autre plus petite que $t.$ On voit d’ailleurs que l’on ne saurait les supposer ni toutes trois plus grandes ni toutes trois plus petites que $t.$ Enfin, si l’on en supposait deux plus grandes que $t,$ la troisième, par compensation, devrait être plus petite ; et si, au contraire, on en supposait deux plus petites, la troisième, par compensation, devrait être plus grande.

Soient donc

$x>t,\qquad y<t\,;$

nous pourrons poser

$x=pt,\qquad y={\frac {t}{q}},$

$p$ et $q$ étant des nombres plus grands que l’unité.

Ces valeurs, substituées dans l’équation, donneront $z={\frac {qt}{p}}\,;$ substituant ensuite les valeurs de $x,y,z$ dans l’inégalité, elle deviendra, en divisant par $2t^{2},$

${\frac {p}{q}}+q+{\frac {1}{q}}<3,$

ou, en chassant les dénominateurs et transposant,

$p^{2}+pq^{2}+q-3pq<0,$

ou encore

$(p-q)^{2}+q(p-1)(q-1)<0\,;$

conclusion absurde, qui prouve la vérité de la proposition que nous avons annoncée.

Il est facile d’en conclure qu’à l’inverse de tous les parallélippèdes rectangles de même surface le cube a le minimum de volume ; car, en admettant que le volume d’un certain parallélipipède rec-