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GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.

Démonstration élémentaire de la propriété de minimum
dont jouissent le périmètre du carré et la surface du cube,
parmi les parallélogrammes rectangles de même surface,
et les parallélipipèdes rectangles de même volume ;

Par M. L. C. Bouvier, ex-officier du génie, ancien élève
de l’école polytechnique.

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I. Soit $t$ le côté d’un carré donné, sa surface sera $t^{2}$ et son périmètre $4t.$

Si l’on nie que ce périmètre soit minimum entre ceux des rectangles de même surface, il faudra admettre qu’il existe un rectangle équivalent au carré donné ayant un périmètre moindre que le sien. Soient $x,y$ les deux dimensions de ce rectangle, sa surface sera $xy$ et son périmètre $2(x+y)\,;$ et l’on devra avoir

$xy=t^{2},\qquad 2(x+y)<4t.$

En vertu de $xy=t^{2},$ si $x$ et $y$ sont inégaux, ils ne pourront être ni tous deux plus grands ni tous deux plus petits que $t\,;$ d’un autre côté, l’un d’eux ne pourra être égal à $t,$ puisqu’alors l’autre devrait l’être aussi ; il faudra donc que l’un soit plus grand et l’autre plus petit que $t.$ Si donc on suppose $x>y,$ on devra avoir $x>t,$ et l’on pourra poser $x=pt,\ p$ étant $>1.$