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et ici, quelques valeurs entières et positives qu’on attribue à $m,m',p,p',n,$ on ne parviendra jamais à faire coïncider les deux expressions.

Nous voilà donc conduits de nouveau à cette conclusion que $\operatorname {Log} .(-y)$ est ou n’est pas le même que $\operatorname {Log} .y,$ suivant que le dénominateur $k$ de ce logarithme est pair ou impair.

On voit donc, par ce qui précède, que les formules

$\operatorname {Log} .y=r+2p\varpi {\sqrt {-1}},\qquad \operatorname {Log} .(-y)=r+(2p'+1)\varpi {\sqrt {-1}}$

ne sont point générales, et ne sauraient être appliquées qu’au seul cas où le logarithme réel de $y$ est un nombre entier ; dans tout autre cas, il faut écrire

$\operatorname {Log} .y=r+\left(2m-{\frac {2p}{k}}\right)\varpi {\sqrt {-1}},$

$\operatorname {Log} .(-y)=r+\left(2m'+1-{\frac {2p'}{k}}\right)\varpi {\sqrt {-1}},$

$k$ étant le dénominateur du logarithme réel de $y.$

6. Nous ferons, en terminant, une observation qui se présente pour ainsi dire d’elle-même : c’est que, lorsqu’on veut raisonner sur un logarithme développé en série, soit sous la forme ordinaire, soit sous toute autre, il ne suffit pas d’écrire

$\operatorname {Log} .y={\frac {y-1}{1}}-{\frac {(y-1)^{2}}{2}}+{\frac {(y-1)^{3}}{3}}-\ldots \,;$

mais qu’il est nécessaire d’ajouter au développement l’une ou l’autre quantité

$\left(2m-{\frac {2p}{k}}\right)\varpi {\sqrt {-1}},\qquad \left(2m+1-{\frac {2p}{k}}\right)\varpi {\sqrt {-1}},$

suivant que $y$ est un nombre positif ou négatif^[1].

1. Une remarque analogue nous avait déjà été faite par M. Querret à l’occasion de la formule de M. Bouvier.
   J. D. G.