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sens des $x$ que ceux de la branche pointillée du cas précédent. Voilà donc une seconde sorte de branches discontinues qu’il faut distinguer de la première sorte. Nous appellerons les branches discontinues de cette seconde sorte des branches ponctuées ; et nous en figurerons le cours par des points plus apparens et plus distans entre eux, comme on le voit (fig. 2). On sent fort bien d’ailleurs qu’en rigueur tout se passe encore ici pour les yeux comme si l’on avait construit l’équation $\pm y=a^{x}.$

8. Il importe de bien distinguer les points dont se composent les branches pointillées ou ponctuées des courbes de ce qu’on nomme en géométrie points conjugués. Il n’existe en effet pour ces derniers ni tangentes, ni normales, ni cercles osculateurs, ni développées ; tandis que les branches pointillées et ponctuées jouissent, à cet égard, dans tous les points réels de leur cours, des propriétés dont les branches continues jouissent dans toute leur étendue, et se trouvent ainsi soumises à toutes les conséquences de la loi de continuité. Il est facile de s’en convaincre, pour les branches pointillées, en considérant que, par des différentiations successives, on tire de l’équation $y=e^{x}$

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=e^{x},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=e^{x},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{3}y}{\operatorname {d} x^{3}}}=e^{x},\ldots$

d’où l’on voit que les valeurs réelles négatives de $y$ donnent aussi lieu à des valeurs réelles négatives de ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}},{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}},\ldots ,$ égales, au signe près, pour chaque valeur de $x,$ à celles des mêmes fonctions correspondant aux valeurs positives de $y.$ Nous aurons au surplus l’occasion de revenir plus amplement sur ce sujet dans le cours du présent mémoire.

Nous observerons encore qu’en général, ni sur les branches pointillées, ni sur les branches ponctuées, les points ne se trouvent également espacés ; ce qui résulte évidemment de ce que leurs