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irrationnel, puisque rien n’empêche de supposer pair le dénominateur alors infini^[1].

4. En résumant ce que nous venons de dire, on voit qu’il est nécessaire de bien distinguer les trois cas où le logarithme est entier, fractionnaire ou irrationnel ; et que, dans le second cas, il faut encore considérer séparément la fraction dont le dénominateur est pair de celle dont le dénominateur est impair. On pourrait néanmoins faire disparaître ces différences en modifiant convenablement la définition. En disant que le logarithme d’un nombre est l’exposant de la puissance à laquelle il faut élever $e$ pour avoir ce nombre, il suffirait d’ajouter que l’on est convenu de donner à tous les logarithmes un dénominateur infini. Il y aurait, pour motiver cette addition à la définition ordinaire, beaucoup de raisons déduites de la nature même du calcul des exposans fractionnaires, et sur lesquelles nous pourrons revenir dans une autre occasion.

5. Quoi qu’il en soit, nous passerons présentement à ce qui nous paraît le plus important dans le sujet qui nous occupe. Nous venons de voir que, dans certains cas, $\operatorname {Log} .y$ peut être égal à $\operatorname {Log} .(-y).$ Cependant, nous avons trouvé plus haut

$\operatorname {Log} .y=r+2p\varpi {\sqrt {-1}},\qquad \operatorname {Log} .(-y)=r+(2p'+1)\varpi {\sqrt {-1}},$

valeurs qui, dans aucun cas, ne sauraient coïncider. Il faut donc ou que ces formules ne soient point exactes, ou que nos raison-

1. Mais rien n’empêche non plus de supposer ce dénominateur impair, et alors la conclusion deviendra fausse. C’est ici exactement le cas de la somme de la suite infinie $1-1+1-1+1-\ldots$ qui est $0$ ou $1,$ suivant qu’on suppose l’infini pair ou impair y et qui pourtant n’est réellement ni l’un ni l’autre.
   J. D. G.