Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/116

${\frac {2\varpi }{k}},\quad {\frac {4\varpi }{k}},\quad {\frac {6\varpi }{k}},\quad {\frac {2(k-1)\varpi }{k}},\quad 2\varpi .$

Si l’on fait croître $k$ indéfiniment, les termes de cette série se rapprocheront sans cesse les uns des autres, en conservant toujours la même limite supérieure $2\varpi ,$ tandis que la limite inférieure ${\frac {2\varpi }{k}}$ descendra continuellement vers zéro. Enfin, $k$ devenant infini, la suite deviendra continue, et sa limite inférieure sera tout-à-fait nulle ; donc, dans ce cas, les arcs pourront avoir toutes les valeurs possibles entre $0$ et $2\varpi .$ On en devra conclure qu’une expression quelconque de la forme $\operatorname {Cos} .u+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .u$ représente, quelque valeur réelle et positive qu’on donne à $u,$ une des racines d’un degré infini de l’unité. L’unité a donc une infinité de racines d’un degré infini ; ce qui nous prouve qu’à un même logarithme irrationnel doivent répondre une infinité de nombres différens.

3. Examinons présentement de plus près la question des logarithmes des nombres négatifs. En nous appuyant sur ce qui vient d’être exposé ci-dessus, nous serons conduits à établir, comme autant de vérités incontestables,

1.^o Que, lorsque $\operatorname {Log} .y$ est un nombre entier, le nombre négatif $-y$ ne saurait être compris parmi ceux qui correspondent à ce logarithme, puisqu’il ne peut alors y correspondre aucun nombre autre que $y\,;$

2.^o Que, lorsque $\operatorname {Log} .y$ est fractionnaire et de dénominateur impair, le nombre $-y$ ne saurait davantage correspondre à ce logarithme ;

3.^o Que, lorsque $\operatorname {Log} .y$ est fractionnaire de dénominateur pair, il répond également aux deux nombres $+y$ et $-y\,;$

4.^o Qu’enfin la même chose a également lieu lorsque $\operatorname {Log} .y$ est