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$e^{z{\sqrt {-1}}}=-1,$

ou bien

$\operatorname {Cos} .z+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .z=-1,$

d’où $\operatorname {Cos} .z=-1,\ \operatorname {Sin} .z=0,$ ce qui donne $z=(2p'+1)\varpi ,$ et par suite

$e^{r+(2p'+1)\varpi {\sqrt {-1}}}=-y,\quad$d’où$\quad \operatorname {Log} .(-y)=r+(2p'+1)\varpi {\sqrt {-1}}.\qquad$(2)

2. Lorsqu’au contraire on demande quelles peuvent être les diverses valeurs de $y$ qui répondent à une même valeur réelle de $x,$ on doit essentiellement distinguer trois cas ; savoir : celui où ce est un nombre entier ; celui où $x$ est un nombre fractionnaire ; et enfin celui où $x$ est un nombre irrationnel.

Dans le premier cas, il est manifeste que la puissance $e^{x}$ ou $y$ ne saurait avoir qu’une seule valeur. Ainsi, le logarithme entier, positif ou négatif $x$ ne saurait répondre qu’à un seul nombre $y.$

Si $x$ est fractionnaire, en désignant par $k$ son dénominateur, $e^{x}$ aura, comme l’on sait, $k$ valeurs différentes, dont une réelle positive. Représentant celle-ci par $R,$ on aura en général $e^{x}=R{\sqrt[{k}]{1}},$ c’est-à-dire,

$e^{x}\quad$ou$\quad y=R\left(\operatorname {Cos} .{\frac {2p\varpi }{k}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2p\varpi }{k}}\right).$

Si enfin l’on suppose $x$ irrationnel, cela reviendra à supposer $k$ infini ; et $y$ aura autant de valeurs différentes qu’en aura $R{\sqrt[{k}]{1}},$ lorsque $k$ est infini. Or, quelque grand que soit $k$, l’expression $\operatorname {Cos} .{\frac {2p\varpi }{k}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2p\varpi }{k}}$ aura toujours $k$ valeurs différentes, depuis $\operatorname {Cos} .{\frac {2\varpi }{k}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi }{k}}$ jusqu’à $\operatorname {Cos} .2\varpi +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2\varpi$ ou zéro, où les arcs forment la suite ascendante