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Il est d’abord facile de voir qu’à une même valeur réelle de $y$ ne saurait répondre qu’une seule valeur réelle de $x,$ puisque deux puissances différentes de $e$ ne sauraient être égales entre elles. Désignons par $r$ cette valeur réelle, et représentons par $z{\sqrt {-1}}$ la quantité inconnue qui doit lui être ajoutée pour avoir toutes les autres ; nous aurons ainsi

$e^{r+z{\sqrt {-1}}}=e^{r}.e^{z{\sqrt {-1}}}=y,$

d’où, à cause de $e^{r}=y,$ nous conclurons

$e^{z{\sqrt {-1}}}=1.$

Mais, d’un autre côté, on sait que

$e^{z{\sqrt {-1}}}=\operatorname {\operatorname {Cos} } .z+{\sqrt {-1}}\operatorname {\operatorname {Sin} } .z\,;$

donc $z$ sera donné par l’équation

$\operatorname {\operatorname {Cos} } .z+{\sqrt {-1}}\operatorname {\operatorname {Sin} } .z=1,$

d’où l’on tire $\operatorname {\operatorname {Cos} } .z=1,\ \operatorname {\operatorname {Sin} } .z=0\,;$ ce qui revient à $z=2p\varpi ,\ p$ étant un nombre entier positif quelconque. On a donc, en général,

$e^{r+2p\varpi {\sqrt {-1}}}=y,\quad$d’où$\quad \operatorname {\operatorname {Log} } .y=r+2p\varpi {\sqrt {-1}}.\qquad$(1)

Pour avoir le logarithme de $-y,$ nous poserons semblablement

$e^{r+z{\sqrt {-1}}}=-y,$

$r$ étant toujours, comme ci-dessus, le logarithme réel de $+y$ il viendra ainsi, en simplifiant