rencontrent l’asymptote qui ne leur est pas parallèle ; et soient les points où les deux autres côtés rencontrent l’autre asymptote. Par une propriété connue de l’hyperbole, on aura
ou bien
ou encore
ce qui prouve que les trois point sont en ligne droite.
M. Sturm, à qui on doit aussi ce théorème, observe qu’on en peut déduire la solution du problème où étant donnés trois points d’une hyperbole et des parallèles à ses deux asymptotes, on demande de construire le centre de la courbe, et par suite ces asymptotes elles-mêmes ?
Ayant, en effet, trois points de la courbe et des parallèles aux deux asymptotes, on a, par là même, deux cordes sur lesquelles, comme diagonales, on peut construire des parallélogrammes de la nature de celui dont il vient d’être question ci-dessus ; et, comme les secondes diagonales de ces parallélogrammes doivent (Théorème III) passer par le centre de la courbe, ce centre se trouvera déterminé par leur intersection.
Les deux cordes qui joignent un des points donnés sur la courbe aux deux autres peuvent être choisies de trois manières différentes ; mais, comme le problème est évidemment déterminé, quel que soit le choix qu’on en fera, on trouvera toujours le même centre. C’est cette considération qui a conduit M. Sturm au quatrième théorème qui se trouve ainsi suffisamment démontré par ce qui précède ; et qu’il nous suffira conséquemment d’énoncer.
THÉORÈME IV. Si, sur les trois côtés d’un triangle, pris tour à tour comme diagonales, on construit des parallélogrammes, dont
