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traire, passent par $\mathrm {A} '$ et $a',$ ce parallélogramme sera équivalent au polygone proposé^[1].

Démonstration. Pour rendre la démonstration de ce théorème plus intelligible, nous la renfermerons dans la résolution des deux problèmes suivans :

PROBLÈME I. étant donné un pentagone composé d’un parallèlogramme et d’un triangle qui ont un côté commun, transformer ce pentagone en un parallélogramme équivalent dont un côté soit un quelconque des deux autres côtés du triangle, et dont le côté adjacent soit dirigé suivant le côté du parallélogramme primitif adjacent à ce même côté du triangle ?

Solution. Soit le pentagone $\eta \mathrm {BED\theta }$ (fig. 12) formé du parallélogramme $\mathrm {B\eta \theta D}$ et du triangle $\mathrm {BED,}$ ayant le côté $\mathrm {BD}$ commun, et proposons-nous de transformer ce pentagone en un parallélogramme dont $\mathrm {BE}$ soit un des côtés et dont un autre côté soit dirigé suivant $\mathrm {B\eta .}$

Pour cela, par le milieu $\mathrm {D} '$ du côté $\mathrm {DE}$ et le milieu $d'$ du côté $\eta \theta$ du pentagone soit menée une droite concourant en $e'$ avec la parallèle à $B\eta$ et $\mathrm {D\theta }$ menée par le milieu $e$ du côté $\mathrm {BE.}$ Alors, en menant par $e'$ une parallèle à $\mathrm {BE,}$ rencontrant respectivement $\mathrm {B\eta }$ et la parallèle menée à cette droite par le point $\mathrm {E}$ en $\delta$ et $\varepsilon ,$ le parallélogramme $\mathrm {B\delta \varepsilon E}$ sera le parallélogramme demandé, équivalent au pentagone $\mathrm {\eta BED\theta .}$

Démonstration. Soit menée la droite $\mathrm {D} 'e,$ terminée en $\alpha$ et $\beta$ à la rencontre des prolongemens de $\mathrm {\eta B}$ et $\mathrm {\theta D.}$ Par le point $\mathrm {D'}$ et par le milieu $d$ de $\mathrm {B} d$ soit menée une droite coupant $\mathrm {E\varepsilon }$ en $\mu ,\ ee'$ en $\zeta$ et $\mathrm {B\delta }$ en $\gamma \,;$ soit enfin menée $\operatorname {d} ',$ coupant $\alpha \beta$ en $\lambda .$

Parce que $\mathrm {D} '$ et $e$ sont les milieux respectifs de $\mathrm {ED}$ et $\mathrm {EB} ,$

1. Ce théorème est dû à M. Ch. Sturm.
   J. D. G.