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l’équation commune à toutes les surfaces enveloppées. On sait que l’intersection de l’une quelconque de ces surfaces avec celle qui lui est consécutive, intersection qu’avec Monge nous appellerons à l’avenir la Caractéristique de la surface limite, sera donnée par le système des deux équations

$\operatorname {F} (x,y,z,t_{1})=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} .\operatorname {F} (x,y,z,t_{1})}{\operatorname {d} t_{1}}}=0\,;$

et que l’élimination de $t,$ entre ces deux équations donnera une équation

$\operatorname {F} _{1}=0,$

en $x,y,z$ seulement qui sera l’équation de l’enveloppe du système de surfaces exprimé par l’équation proposée.

S’il existait un second paramètre $t_{2},$ il se retrouverait dans $\operatorname {F} _{1}=0,$ et alors l’équation de l’enveloppe résultant des variations de $t_{1}$ et $t_{2}$ serait donnée par l’élimination de $t_{2}$ entre les deux équations

$\operatorname {F} _{1}=0\qquad {\frac {\operatorname {d} \operatorname {F} _{1}}{\operatorname {d} t_{2}}}=0\,;$

et il faudrait poursuivre ainsi, pour parvenir à l’enveloppe finale, quel que pût être le nombre des paramètres variables.

Parvenus donc à l’équation de l’avant-dernière enveloppe, équation que nous représenterons par $F_{n-1}=0,$ ne renfermant plus qu’un seul paramètre $t_{n},$ si l’on écrit

$\operatorname {F} _{n-1}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} \operatorname {F} _{n-1}}{\operatorname {d} t_{n}}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}\operatorname {F} _{n-1}}{\operatorname {d} ^{2}t_{n}}},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{3}\operatorname {F} _{n-1}}{\operatorname {d} ^{3}t_{n}}}\,;$

l’ensemble des deux premières équations appartiendra aux caractéristiques de l’enveloppe finale ; de sorte que l’élimination de $t_{n}$ entre elles, donnera l’équation de cette enveloppe. Si l’on élimine $t_{n}$ entre les trois premières, on obtiendra deux équations en $x,y,z$ qui appartiendront à l’arête de rebroussement de l’enveloppe et si enfin