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{\frac {..}{..}}{\frac {\operatorname {Sin} .(\mathrm {R} +r)+\operatorname {Sin} .(\mathrm {R} -r)}{2}}:\operatorname {Sin} .\mathrm {D} :{\frac {3\operatorname {Sin} .(\mathrm {R} -r)-\operatorname {Sin} .(\mathrm {R} +r)}{2}}\,;

comme nous l’avions annoncé.

Si le cercle tangent aux trois côtés du triangle, au lieu d’être inscrit, était exinscrit, la proportion serait

{\frac {..}{..}}{\frac {\operatorname {Sin} .(\mathrm {R} +r)+\operatorname {Sin} .(\mathrm {R} -r)}{2}}:\operatorname {Sin} .\mathrm {D} :{\frac {3\operatorname {Sin} .(\mathrm {R} +r)-\operatorname {Sin} .(\mathrm {R} -r)}{2}}.

Le résultat auquel nous venons de parvenir, et qui n’était point encore connu, avait été demandé dans les Annales de mathématiques (tom. VI, pag. 224). Il se lie d’ailleurs parfaitement avec celui du Théorème XX, dans lequel il se change immédiatement, lorsqu’on suppose le rayon de la sphère infini.