d’où
ce qui donne
comme nous l’avions annoncé.
Si le cercle tangent aux trois côtés du triangle, au lieu d’être inscrit, était exinscrit, en raisonnant d’une manière analogue, on trouverait la proportion
c’est là le théorème de M. Maisonneuve annoncé ci-dessus.
THÉORÈME XXI. La distance entre les centres de deux sphères, l’une inscrite et l’autre circonscrite à un même tétraèdre, est moyenne proportionnelle entre la somme des rayons de ces deux sphères et l’excès du rayon de la sphère circonscrite sur le triple du rayon de ls sphère inscrite.
Démonstration. Nous savons déjà (Théorème XVI) que, lorsqu’un même tétraèdre est, à la fois, circonscrit à une sphère et inscrit à une autre sphère, une infinité d’autres tétraèdres peuvent aussi, à la fois, être circonscrits à la première de ces sphères et inscrits à la seconde ; la distance, entre les centres des sphères inscrite et circonscrite à chacun d’eux, est donc la même pour tous ; elle doit donc être indépendante de la nature du tétraèdre que l’on considère en particulier, et ne doit dépendre que des élémens qui leur sont communs à tous, c’est-à-dire, des deux sphères.
