et en leur appliquant le Théorème V on verra en effet que 
est sur 
et conséquemment sur 
que 
est sur 
et conséquemment sur 
et qu’enfin 
est sur 
et conséquemment sur 
Or, comme 
par leurs intersections avec le cercle, déterminent les sommets des deux triangles cherchés, il s’ensuit que tout se réduit à construire ces droites, ou simplement les sommets 
du triangle qu’elles forment par leurs rencontres. Puis donc que ces sommets sont déjà respectivement sur 
et 
il ne s’agit plus que de trouver d’autres droites sur lesquelles ils se trouvent également. Or, il est aisé de prouver que le sommet est sur 
le sommet sur 
etle sommet 
sur 
En effet, soient respectivement 
les intersections de 
et
de 
et 
et de 
et 
soient en outre 
les intersections respectives de 
et 
de 
et 
de 
et 
Les points 
ayant pour polaires respectives 
et 
qui concourent en 
il s’ensuit que ces trois points appartiennent à une même ligne droite dont le point 
est le pôle. Pour de semblables raisons, la droite 
passe par 
et a pour pôle le point 
et la droite 
passe par 
et a pour pôle le point 
soient enfin menés 
et 
Cela posé, si l’on considère en premier lien, l’hexagone inscrit non convexe dont les côtés consécutifs sont 
on verra (Théorème I) que la droite 
doit passer par le point de concours de 
et 
Considérant ensuite le quadrilatère convexe inscrit dont les côtés consécutifs sont 
on verra (Théorème V) que ces mêmes droites 
doivent concourir en un point de d’où on conclura que et 
doivent concourir en un même point de 
et que conséquemment leurs pôles respectifs 
sont en ligne droite. Enfin, en considérant le quadrilatère inscrit non convexe dont les
