Soient respectivement les points de contact des côtés et soient respectivement, les points de concours des directions de et et et
Parce que et sont les pôles respectifs de et doit être la polaire du point pour de semblables raisons, et doivent être les polaires respectives des points et puis donc que, par le précédent théorème, ces trois points appartiennent à une même ligne droite, il s’ensuit que leurs trois polaires doivent concourir en un même point, pôle de cette droite.
Ce théorème a évidemment la même généralité que le précédent, et s’applique indistinctement à toutes les sortes d’hexagones circonscrits au cercle, même à ceux qui n’enfermeraient point la circonférence entre leurs côtés.
Si l’on forme tous les hexagones circonscrits qu’il est possible de construire par les intersections des six mêmes tangentes données, considérées comme droites indéfinies ; chacun d’eux jouissant de la propriété qui vient d’être démontrée, on en verra éclore soixante systèmes de trois droites, concourant en un même point.
On se convaincra facilement que, dans tous les cas, si l’hexagone inscrit a ses sommets aux points de contact du circonscrit, le point de concours des diagonales joignant les sommets opposés de ce dernier sera constamment le pôle de la droite contenant les points de concours des directions des côtés opposés du premier.
Remarquons encore que de même que nous avons déduit le second théorème du premier, à l’aide de la théorie des pôles et polaires, on parviendrait également, à l’aide de la même théorie, à déduire le premier du second, si ce dernier était démontré directement.
