toutes deux par le centre de similitude interne des deux cercles et lequel conséquemment ne saurait être autre que le point de concours des directions de et
Enfin, le cercle touche intérieurement les cercles et en et et le cercle touche extérieurement les deux mêmes cercles en et d’où il suit que les droites et contiennent l’une et l’autre le centre de similitude externe des deux cercles et lequel conséquemment ne saurait être autre que le point de concours des directions de ces deux droites.
Ainsi, les trois points sont, savoir ; les deux premiers les centres de similitude internes, et le dernier le centre de similitude externe du système des trois cercles donc ces trois points appartiennent à l’un des trois axes de similitude internes de ces trois cercles, et conséquemment à une même ligne droite.
Un raisonnement analogue s’appliquera à tous les cas et à toutes les sortes d’hexagones qui pourront être inscrits à un cercle même à ceux dont des côtés se couperaient entre leurs extrémités, ainsi qu’il arrive pour les polygones étoiles. Il pourra seulement arriver, dans certains cas, que les points de concours soient tous trois des centres de similitude externes, auquel cas ils appartiendront à l’axe de similitude externe des trois cercles.
Si l’on forme tous les hexagones inscrits qu’il est possible de construire avec les mêmes sommets donnés ; chacun d’eux jouissant de la propriété qui vient d’être démontrée, on en verra éclore soixante systèmes de trois points appartenant à une même ligne droite.
THÉORÈME II. Dans tout hexagone circonscrit au cercle, les diagonales qui joignent les sommets opposés concourent toutes trois en un même point.
Démonstration. Au moyen de la théorie des pôles et polaires, ce théorème devient une conséquence fort simple du précédent.
Soit en effet un hexagone circonscrit au cercle et duquel il faut démontrer que les diagonales qui joignent les sommets opposés concourent en un même point.
