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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\operatorname {d} U=X\operatorname {d} x+Y\operatorname {d} y+Z\operatorname {d} z,\quad$d’où$\quad \delta U=X\delta x+Y\delta y+Z\delta z\,;$

au moyen de quoi l’équation ci-dessus devient

$(U+a)\left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}\delta y+{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\delta z\right)$

$+\int \left\{\left[X\operatorname {d} s-\operatorname {d} .(U+a){\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}\right]\delta x+\left[Y\operatorname {d} s-\operatorname {d} .(U+a){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}\right]\delta y\right.$

$\left.+\left[Z\operatorname {d} s-\operatorname {d} .(U+a){\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\right]\delta z\right\}=0$

Les deux points extrêmes de la courbe étant fixes, la partie hors du signe intégral du premier membre de cette équation doit s’évanouir ; et, en égalant séparément à zéro les quantités multipliées par $\delta x,\delta y,\delta z,$ sous ce même signe intégral, on obtient, pour les trois équations de la courbe cherchée,

${\begin{aligned}&\operatorname {d} .(U+a){\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}=X\operatorname {d} s,\\\\&\operatorname {d} .(U+a){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}=Y\operatorname {d} s,\\\\&\operatorname {d} .(U+a){\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}=Z\operatorname {d} s.\end{aligned}}$

Deux de ces équations doivent comporter la troisième ; et c’est en effet ce qui résulte de la relation $dU=adXdx+Y\operatorname {d} y+Z\operatorname {d} z.$

En posant $T=-(U+a),$ ces équations deviennent identiques avec les équations (1), et par conséquent la courbe qu’elles représentent est celle qu’affecte le fil flexible en équilibre, sous l’action des forces $X,Y,Z,$ sollicitant chacun de ses points ; ce qu’il fallait démontrer.