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exacte à trois variables ; et qu’on représente par $U$ son intégrale, la courbe formée par le fil en équilibre sera entre toutes les courbes de même longueur et se terminant aux mêmes points, celle qui rendra l’intégrale $\int U\operatorname {d} s$ prise entre ces points, un minimum ou un maximum ».

Cherchons en effet la courbe qui remplit cette dernière condition. En suivant la méthode générale des variations, il faudra égaler à zéro la variation de la formule

$\int U{\sqrt {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}+\operatorname {d} z^{2}}}+a\int {\sqrt {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}+\operatorname {d} z^{2}}},$

dans laquelle $a$ désigne un nombre qui doit être déterminé pas la condition d’avoir, entre les limites données,

$\int {\sqrt {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}+\operatorname {d} z^{2}}}=l.$

Posons donc

$\delta .\int (U+a){\sqrt {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}+\operatorname {d} z^{2}}}=0\,;$

nous en tirerons

$\int \left\{\delta U\operatorname {d} s+(U+a)\left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}\operatorname {d} \delta x+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}\operatorname {d} \delta y+{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\operatorname {d} \delta z\right)\right\}=0.$

Faisant disparaître $\operatorname {d} \delta x,\operatorname {d} \delta y,\operatorname {d} \delta z,$ au moyen de l’intégration par parties, il viendra

$(U+a)\left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}\delta y+{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\delta z\right)$

$+\int \left\{\delta U\operatorname {d} s-\delta x\operatorname {d} .(U+a){\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}-\delta y\operatorname {d} .(U+a){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}-\delta z\operatorname {d} .(U+a){\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\right\}=0.$

Mais, par hypothèse, la formule $X\operatorname {d} x+Y\operatorname {d} y+Z\operatorname {d} z$ est une différentielle exacte à trois variables, et l’on a