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$T=c+{\frac {f}{r}},\qquad s={\frac {\sqrt {(cr+f)^{2}-h^{2}}}{c}}+\mathrm {Const} .$

L’équation (8) deviendra, dans le même cas,

$\operatorname {d} u=\pm {\frac {h\operatorname {d} r}{r{\sqrt {(cr+f)^{2}-h^{2}}}}}.\qquad$(10)

Nous nous dispenserons d’en écrire l’intégrale, qu’on peut obtenir facilement, en posant $r={\frac {1}{r'}}\,;$ et qui prendra trois formes différentes suivant qu’on aura

$f^{2}-h^{2}>0\quad$ou$\quad =0\quad$ou$\quad <0.$

La détermination des constantes arbitraires introduites par les intégrations se fera en exprimant que la courbe passe par les deux points fixes extrêmes, et qu’elle a, entre ces deux points, une longueur donnée.

En vertu d’un théorème connu, la courbure du fil en équilibre ne changerait pas, si l’on supposait le centre unique d’attraction remplacé par celui d’une sphère homogène dont tous les points jouiraient de la même propriété que lui. La courbe à laquelle appartient l’équation (8) jouit d’une propriété assez remarquable ; elle est entre toutes les courbes de même longueur et passant par les mêmes points extrêmes, celle qui rend l’intégrale $\int \operatorname {d} s\int r\operatorname {d} r$ un minimum ou un maximum. Cette propriété, remarquée par Euler, dépend d’une propriété plus générale, qui se rattache elle-même au principe des vitesses virtuelles. En voici toutefois l’exposé direct :

« Toutes les notations employées dans l’équation (1) étant admises, si la formule $X\operatorname {d} x+Y\operatorname {d} y+Z\operatorname {d} z$ est une différentielle