Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/395

$\left.{\begin{aligned}&-\operatorname {d} T{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}-T\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}=X\operatorname {d} s,\\\\&-\operatorname {d} T{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}-T\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}=Y\operatorname {d} s,\\\\&-\operatorname {d} T{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}-T\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}=Z\operatorname {d} s\,;\end{aligned}}\right\}\quad (2)$

dont la somme des produits respectifs par ${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}},\ {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}},\ {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}$ est

$-\operatorname {d} T=X\operatorname {d} x+Y\operatorname {d} y+Z\operatorname {d} z.\qquad$(3)

Lorsqu’on suppose que les particules du fil sont sollicitées par une force $R$ qui émane de l’origine, on a

$X={\frac {Rx}{r}},\qquad Y={\frac {Ry}{r}},\qquad Z={\frac {Rz}{r}}.$

Avec ces valeurs et observant que

$x\operatorname {d} x+y\operatorname {d} y+z\operatorname {d} z=r\operatorname {d} r,$

l’équation (3) deviendra

$-\operatorname {d} T=R\operatorname {d} r,$

d’où

$T=c-\int R\operatorname {d} r\,;\qquad$(4)

$c$ étant la constante arbitraire. Or, la force $R$ étant supposée une fonction de $r,\ \int R\operatorname {d} r$ en sera une aussi, de sorte que, dans l’état d’équilibre, la tension du fil en chacun de ses points dépend uniquement de la distance de ce point au centre attirant.