c’est-à-dire, si, de l’un quelconque des points de la circonférence du cercle inscrit au triangle équilatéral, on abaisse des perpendiculaires sur ses trois côtés, la somme des carrés construits sur ces perpendiculaires sera constante et équivalente à la moitié du carré construit sur la hauteur du triangle.
Note sur les centres des moyennes distances ;
À la page 17 des Solutions peu connues, etc., de M. Servois, on lit ce qui suit : « Ainsi, au moins pour le cas du triangle, on arrive, par des considérations purement géométriques, à la solution d’un problème qu’Ozanam n’avait pas cru que l’on pût résoudre sans le secours de la mécanique. Ayant joint par des droites les milieux consécutifs des côtés d’un polygone, pour former un polygone inscrit du même nombre de côtés, puis les milieux de celui-ci, pour en avoir un troisième, et ainsi de suite, trouver le point où s’arrêtera l’opération (Récréations mathématiques, Problèmes de géométrie) ».
On peut, à ce qu’il nous paraît, démontrer aisément, par le seul secours de la géométrie, que ce point est le centre des moyennes distances de tous les sommets du polygone. En effet, la perpendiculaire abaissée du milieu d’un côté sur un plan quelconque est la demi-somme des perpendiculaires abaissées sur le même plan des extrémités de ce même côté ; d’où il résulte que la somme
