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$x+x'=a\varphi (a)+Aa'^{\alpha }+Ba'^{\beta }+Ca'^{\gamma }+\ldots$

où $A,B,C,\ldots$ seront des fonctions de $a$ sans $a'.$ Retranchant enfin de cette dernière la première des équations (1), on aura

$x'=Aa'^{\alpha }+Ba'^{\beta }+Ca'^{\gamma }+\ldots \qquad$(3)

et il s’agira de déterminer les quantités $A,B,C,\ldots \alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$

Or, puisque le premier membre de cette équation exprime la vitesse relative du mobile, et que cette vitesse doit être indépendante de la vitesse de la terre, le second membre devra aussi en être indépendant, et conséquemment ne pas contenir $a\,;$ les coefficiens $A,B,C,\ldots$ doivent donc être des quantités constantes.

Mais, d’un autre côté, au lieu de substituer, dans l’expression $a\varphi (a),\ a+a'$ à la place de $a,$ ce qui donne, comme nous l’avons vu,

$a\varphi (a)+Aa'^{\alpha }+Ba'^{\beta }+Ca'^{\gamma }+\ldots \,;$

il revient évidemment au même d’y changer d’abord $a$ en $a+{\frac {1}{2}}a',$ ce qui donne

$a\varphi (a)+A\left({\frac {1}{2}}a'\right)^{\alpha }+B({\frac {1}{2}}a')^{\beta }+C({\frac {1}{2}}a')^{\gamma }+\ldots$

et de changer ensuite de nouveau, dans le résultat, $a$ en $a+{\frac {1}{2}}a'\,;$ ce qui donnera, à cause de $A,B,C,\ldots$ indépendans de $a,$

$x'=a\varphi (a)+2A\left({\frac {1}{2}}a'\right)^{\alpha }+2B\left({\frac {1}{2}}a'\right)^{\beta }+2C\left({\frac {1}{2}}a'\right)^{\gamma }+\ldots \,;\qquad$(4)

comparant donc (4) à (3), on devra avoir