Afin donc de pouvoir discerner, parmi les divers résultats auxquels on parvient, quels sont ceux qui expriment proprement des enveloppes, il ne s’agit que de découvrir quelque propriété de ces enveloppes qui leur appartiennent exclusivement, et voici celle dont l’emploi nous a paru le plus propre à remplir notre but. Menons à chacune des lignes représentées par l’intégrale une tangente parallèle à une droite fixe quelconque, et joignons tous les points de contact par une ligne ; l’équation de cette ligne ne sera autre chose (Annales, tom. XIII, pag. 333-343) que l’équation dans laquelle serait remplacé par la tangente tabulaire de l’angle que fait la droite fixe avec l’axe des Cela posé, les diverses transversales qu’on peut obtenir, en faisant varier la position de la droite directrice, sont tangentes aux enveloppes des lignes représentées par l’intégrale (Annales, ibid.), et par conséquent elles sont aussi tangentes aux enveloppées. Donc on peut obtenir tous les points de l’enveloppe, en cherchant, sur chaque transversale, l’élément qui se confond avec celui de la ligne qu’elle traverse. Mais si, dans l’équation on donne à une valeur particulière on aura l’équation de la ligne qui traverse les élémens qui font avec l’axe des un angle égal à donc les coordonnées de celui de ces élémens qui appartient à l’enveloppe sont déterminées par le système des équations
dans lesquelles serait remplacé par on obtiendra donc tous les points des diverses enveloppes, en éliminant entre ces deux équations, ou ce qui revient au même, en éliminant entre
Par exemple, pour avoir les solutions particulières de l’équation
