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Un élément quelconque d’une enveloppée est commun à deux enveloppées consécutives ; et si, dans l’équation $\varphi =0,$ on remplace $x$ et $y$ par les coordonnées d’au point quelconque du plan des axes, les valeurs qu’on en pourra tirer pour $p$ feront connaître la direction des divers élémens d’enveloppées qui passent par ce point ; d’où il suit que, si le point dont il s’agit se trouve sur une enveloppe, deux de ces valeurs seront égales ; donc l’équation des enveloppes exprime la relation qui doit exister entre $x$ et $y,$ pour que l’équation $\varphi '=0$ donne pour $p$ deux valeurs égales ; donc enfin, quand l’équation $\varphi '=0$ ne sera pas susceptible de plusieurs formes, par suite des exposans fractionnaires qui pourraient affecter quelques-uns de ses termes, on en obtiendra toutes les solutions particulières en éliminant p entre $\varphi '=0$ et ${\frac {\operatorname {d} \varphi '}{\operatorname {d} p}}=0$ ^[1].

Remarquons présentement qu’en exprimant que deux enveloppées se touchent en un point, nous n’avons pas exprimé encore toutes les conditions nécessaires pour que ce point appartienne à une enveloppe ; il faut de plus, pour cela, que ces deux enveloppées soient consécutives, c’est-à-dire qu’il faut qu’elles répondent à deux valeurs de la constante $c$ infiniment peu différentes. Donc notre procédé ne doit pas seulement nous donner les enveloppes cherchées, mais encore toutes les lignes qui passent par les divers points de

↑ Cette manière de déterminer les enveloppes nous semble plus simple que celle à laquelle nous nous étions précédemment arrêtés (Annales, tom. XIII, pag. 333-343) ; elle conduira d’ailleurs aux mêmes conséquences pour tout ce qui tient à la recherche des solutions particulières dans lesquelles $x$ et $y$ ne passent pas le premier degré. Pour y parvenir, il suffira d’observer que les transversales que nous ayons employées à l’endroit cité ne peuvent en même temps être enveloppes qu’autant qu’elles sont toutes droites.
Les solutions particulières fonctions de $x$ seul sont comprises dans la même théorie elles répondent à deux valeurs de $p$ infinies et égales entre elles, c’est-à-dire, dont le quotient a l’unité pour limite.

[1] Cette manière de déterminer les enveloppes nous semble plus simple que celle à laquelle nous nous étions précédemment arrêtés (Annales, tom. XIII, pag. 333-343) ; elle conduira d’ailleurs aux mêmes conséquences pour tout ce qui tient à la recherche des solutions particulières dans lesquelles $x$ et $y$ ne passent pas le premier degré. Pour y parvenir, il suffira d’observer que les transversales que nous ayons employées à l’endroit cité ne peuvent en même temps être enveloppes qu’autant qu’elles sont toutes droites.
Les solutions particulières fonctions de $x$ seul sont comprises dans la même théorie elles répondent à deux valeurs de $p$ infinies et égales entre elles, c’est-à-dire, dont le quotient a l’unité pour limite.

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