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Ce résultat se vérifie d’ailleurs facilement ; il donne en effet

$\varphi (t)=A\operatorname {Log} .t,\qquad \varphi (u)=A\operatorname {Log} .u\,;$

d’où, en ajoutant

$\varphi (t)+\varphi (u)=A\operatorname {Log} .t+A\operatorname {Log} .u=A(\operatorname {Log} .t+\operatorname {Log} .u)=A\operatorname {Log} .(tu)=\varphi (tu),$

comme le veut l’équation proposée.

III. Si, dans l’équation

$\varphi (t).\varphi (u)=\varphi (t+u),\qquad$(1)

on change, tour-à-tour, $u$ en $u+v,\ v$ en $v+x,$ et ainsi de suite, en développant successivement $\varphi (u+v),\varphi (v+x),\ldots ,$ au moyen de cette même équation, on trouvera généralement

$\varphi (t).\varphi (u).\varphi (v)\ldots =\varphi (t+u+v+\ldots )\qquad$(2)

supposant ensuite que les variables $t,u,v,\ldots ,$ toutes égales entre elles, sont au nombre de $q,$ on aura

$\left\{\varphi (t)\right\}^{q}=\varphi (qt),\qquad$(3)

et l’on aurait pareillement

$\left\{\varphi (u)\right\}^{q}=\varphi (qu).$

Faisant, dans cette dernière, $qu=t,$ d’où $u={\frac {1}{q}}t,$ elle deviendra

$\left\{\varphi \left({\frac {1}{q}}t\right)\right\}^{q}=\varphi (t)\,;$

et par suite

$\varphi \left({\frac {1}{q}}t\right)=\left\{\varphi (t)\right\}^{\frac {1}{q}}\,;$