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${\begin{aligned}\varphi (t)+\varphi (u)&=\varphi (t+u),\\\\\varphi (t)+\varphi (u)&=\varphi (tu),\\\\\varphi (t).\varphi (u)&=\varphi (t+u),\\\\\varphi (t).\varphi (u)&=\varphi (tu)\,;\end{aligned}}$

dans lesquelles la forme de la fonction $\varphi$ est l’inconnue du problème. Nous allons, dans ce qui va suivre, montrer comment on peut déterminer, pour chaque cas, la nature de la fonction $\varphi$ ; nous appliquerons ensuite à un exemple les résultats que nous aurons obtenus.

I. Si, dans l’équation

$\varphi (t)+\varphi (u)=\varphi (t+u),\qquad$(1)

on change $u$ en $u+v,$ elle devient

$\varphi (t)+\varphi (u+v)=\varphi (t+u+v)\,;$

mais, en vertu de la proposée

${\begin{aligned}&11F=2(AE+BD)+C^{2},\\\\&13G=2(AF+BE+CD),\\\\&15H=2(AG+BF+CE)+D^{2},\end{aligned}}$

et ainsi de suite, ce qui démontre la loi annoncée.

Ces résultats, auxquels il serait aisé de parvenir, sans rien emprunter du calcul différentiel, peuvent servir de supplément à ce qui a déjà été publié dans ce recueil (tom. III, pag. 344).

J. D. G.