Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/361

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{\begin{array}{cl}{\frac {21844}{6081075}}&={\frac {2\left(1.{\frac {1382}{155925}}+{\frac {1}{3}}.{\frac {62}{2835}}+{\frac {2}{15}}.{\frac {17}{315}}\right)}{13}},\end{array}}

et ainsi de suite^[1].

↑ Ceci n’est encore qu’une induction, et c’est sans doute déjà beaucoup ; mais on peut prouver aisément que telle est en effet la loi de la série. Posons en effet
$\operatorname {Tang} .x=Ax+Bx^{3}+Cx^{5}+Dx^{7}+Ex^{9}+Fx^{11}+\ldots ,\qquad$ (1)

où l’on voit déjà que $A$ doit être égal à l’unité ; en différentiant deux fois consécutivement, il viendra

${\frac {1}{\operatorname {Cos} .^{2}x}}=A+3Bx^{2}+5Cx^{4}+7Dx^{6}+9Ex^{8}+11Fx^{10}+\ldots ,\qquad$ (2)

${\frac {\operatorname {Tang} .x}{\operatorname {Cos} .^{2}x}}=1.3Bx+2.5Cx^{3}+3.7Dx^{5}+4.9Ex^{7}+5.11Fx^{9}+\ldots ,\quad$ (3)

Comparant ensuite le produit des équations (1) et (2) à l’équation (3), on aura

$\left(A+3Bx^{2}+5Cx^{4}+7Dx^{6}+9Ex^{8}+\ldots \right)\left(Ax+Bx^{3}+Cx^{5}+Dx^{7}+Ex^{9}+\ldots \right)$

$=1.3Bx+2.5Cx^{3}+3.7Dx^{5}+4.9Ex^{7}+5.11Fx^{9}+\ldots$

ou, en développant le premier membre et ordonnant,

${\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}A^{2}x+AB&\\+3AB&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\\\\\\\\\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{3}+AC&\\+3B^{2}&\\+5AC&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\\\\\\\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{5}+AD&\\+3BC&\\+5BC&\\+7AD&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\\\\\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{7}+AE&\\+3BD&\\+5C^{2}&\\+7BD&\\+9AE&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\\\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{9}+AF&\\+3BE&\\+5CD&\\+7CD&\\+9BE&\\11AF&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\end{aligned}}\\\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{11}+\ldots \\+\ldots \\+\ldots \\+\ldots \\+\ldots \\+\ldots \\+\ldots \\\end{array}}\\&{\begin{aligned}\end{aligned}}\\\end{aligned}}$

$=1.3Bx+2.5Cx^{3}+3.7Dx^{5}+4.9Ex^{7}+5.11Fx^{9}+\ldots$

[p361-1] Ceci n’est encore qu’une induction, et c’est sans doute déjà beaucoup ; mais on peut prouver aisément que telle est en effet la loi de la série. Posons en effet
$\operatorname {Tang} .x=Ax+Bx^{3}+Cx^{5}+Dx^{7}+Ex^{9}+Fx^{11}+\ldots ,\qquad$ (1)

où l’on voit déjà que $A$ doit être égal à l’unité ; en différentiant deux fois consécutivement, il viendra

${\frac {1}{\operatorname {Cos} .^{2}x}}=A+3Bx^{2}+5Cx^{4}+7Dx^{6}+9Ex^{8}+11Fx^{10}+\ldots ,\qquad$ (2)

${\frac {\operatorname {Tang} .x}{\operatorname {Cos} .^{2}x}}=1.3Bx+2.5Cx^{3}+3.7Dx^{5}+4.9Ex^{7}+5.11Fx^{9}+\ldots ,\quad$ (3)

Comparant ensuite le produit des équations (1) et (2) à l’équation (3), on aura

$\left(A+3Bx^{2}+5Cx^{4}+7Dx^{6}+9Ex^{8}+\ldots \right)\left(Ax+Bx^{3}+Cx^{5}+Dx^{7}+Ex^{9}+\ldots \right)$

$=1.3Bx+2.5Cx^{3}+3.7Dx^{5}+4.9Ex^{7}+5.11Fx^{9}+\ldots$

ou, en développant le premier membre et ordonnant,

${\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}A^{2}x+AB&\\+3AB&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\\\\\\\\\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{3}+AC&\\+3B^{2}&\\+5AC&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\\\\\\\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{5}+AD&\\+3BC&\\+5BC&\\+7AD&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\\\\\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{7}+AE&\\+3BD&\\+5C^{2}&\\+7BD&\\+9AE&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\\\\\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{9}+AF&\\+3BE&\\+5CD&\\+7CD&\\+9BE&\\11AF&\end{array}}\\&{\begin{aligned}\end{aligned}}\\\\\end{aligned}}{\begin{aligned}&{\begin{array}{rr|}x^{11}+\ldots \\+\ldots \\+\ldots \\+\ldots \\+\ldots \\+\ldots \\+\ldots \\\end{array}}\\&{\begin{aligned}\end{aligned}}\\\end{aligned}}$

$=1.3Bx+2.5Cx^{3}+3.7Dx^{5}+4.9Ex^{7}+5.11Fx^{9}+\ldots$

[1]