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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\left\{{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+\ldots }}}}}}\right\}^{m}=$

${\frac {p^{m}}{q^{m}+{\frac {m}{1}}pq^{m-2}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-3}{2}}p^{2}q^{m-4}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-3}{2}}.{\frac {m-5}{3}}p^{3}q^{m-6}+\ldots \pm {\frac {p^{m}}{q^{m}+\ldots }}}}$

Le signe supérieur ou le signe inférieur devant être pris, suivant que $m$ est pair ou impair.

Quant aux racines des fractions continues périodiques, on sent qu’elles ne sauraient être développables en fractions continues périodiques rationnelles que dans des cas très-particuliers ; et en conséquence, nous ne nous en occuperons pas.

Pour les mêmes raisons, nous ne nous occuperons pas non plus de la recherche de la somme, de la différence, du produit ou du quotient de la division de deux fractions continues périodiques ; car ces résultats, étant évidemment susceptibles de quatre valeurs différentes, ne sauraient, généralement parlant, être développés en fractions continues périodiques rationnelles.

Dans les recherches qui viennent de nous occuper, nous avons souvent rencontré des fractions continues périodiques de la forme

$x={\frac {p}{q-{\frac {p}{q-{\frac {p}{q-\ldots }}}}}}$

et on peut désirer de leur substituer d’autres fractions continues dans lesquelles toutes les fractions intégrantes soient positives. C’est là une chose très-facile, au moyen d’une extension donnée à une remarque de Lagrange, sur les fractions continues dans lesquelles les numérateurs sont égaux à l’unité. Nous pouvons d’abord écrire

$x={\frac {p}{q-{\frac {p}{q-x}}}},$

or, on a l’équation identique