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$x^{2}+qx=p\,;$

et soit $k$ un nombre rationnel donné. Si d’abord on veut avoir leur somme, en représentant cette somme par $y,$ on aura

$y=x+k,\quad$d’où$\quad x=y-k\,;$

au moyen de quoi l’équation du second degré deviendra

$(y-k)^{2}+q(y-k)=p,$

ou, en développant et ordonnant

$y^{2}+(q-2k)y=p+qk-k^{2},$

ce qui donne

$y={\frac {p+qk-k^{2}}{q-2k+y}}\,;$

de sorte qu’on aura

(I) $\left\{{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+\ldots }}}}}}\right\}+k={\frac {p+qk-k^{2}}{q-2k+{\frac {p+qk-k^{2}}{q-2k+{\frac {p+qk-k^{2}}{q-2k+\ldots }}}}}}$

En changeant le signe de $k,$ dans cette formule, elle devient

(II) $\left\{{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+{\frac {p}{q+\ldots }}}}}}\right\}-k={\frac {p-qk-k^{2}}{q+2k+{\frac {p-qk-k^{2}}{q+2k+{\frac {p-qk-k^{2}}{q+2k+\ldots }}}}}}$

tel est donc le reste qu’on obtient en retranchant de notre fraction continue un nombre rationnel donné.

On peut encore écrire