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Soient $\mathrm {P}$ le sommet opposé à $\mathrm {A}$ du carré construit sur $\mathrm {CB}$ et $\mathrm {Q}$ le sommet opposé à $\mathrm {B}$ du carré construit sur $\mathrm {CA} .$

Menons $\mathrm {AP}$ et $\mathrm {BQ} ,$ coupant respectivement $\mathrm {CB}$ et $\mathrm {CA}$ en $\mathrm {A'}$ et $\mathrm {B'} ,$ et abaissons du sommet $\mathrm {C} ,$ sur l’hypothénuse $\mathrm {AB} ,$ la perpendiculaire $\mathrm {CC'} .$

Les triangles rectangles semblables $\mathrm {PBA'}$ et $\mathrm {ACA'}$ donneront

$\mathrm {{\frac {BA'}{CA'}}={\frac {BP}{CA}}={\frac {CB}{CA}}} .$

Les triangles rectangles semblables $\mathrm {QAB'}$ et $\mathrm {BCB'}$ donneront pareillement

$\mathrm {{\frac {CB'}{AB'}}={\frac {CB}{AQ}}={\frac {CB}{CA}}} .$

On a enfin, par la propriété connue du triangle rectangle,

$\mathrm {{\frac {AC'}{BC'}}={\frac {{\overline {CA}}^{2}}{{\overline {CB}}^{2}}}}$

En multipliant ces trois équations membre à membre, il vient, en réduisant,

$\mathrm {\frac {AC'.CB'.BA'}{CA'.AB'.BC'}} =1,$

c’est-à-dire

$\mathrm {AC'.CB'.BA'=CA'.AB'.BC'}$

or, il est connu de tous ceux qui n’ont pas cru devoir borner leurs études géométriques aux élémens d’Euclide, que, lorsque trois points $\mathrm {A',B',C'}$ sont situés sur les côtés respectifs $\mathrm {BC,CA,AB}$ d’un triangle $\mathrm {ABC} ,$ de manière à satisfaire à cette condition, les droites $\mathrm {AA',BB',CC'}$ se coupent toutes trois au même point. Le théorème se trouve donc complètement démontré.

Cette démonstration, quelque simple et rigoureuse qu’elle soit, pourra fort bien ne pas complètement remplir l’attente de M. Hamett, qui désire qu’on ne s’y appuie sur aucune proposition postérieure à la xlvii.^e d’Euclide, mais il y en a dans Euclide, avant celle-là,