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de ce développement, égalés séparément à zéro, ne sont autre chose que les équations de condition qui exprimeraient que $y_{i}\operatorname {d} t^{i}$ est une différentielle exacte de l’ordre $i\,;$ ces coefficiens doivent donc être nuls d’eux-mêmes, puisque $y_{i}\operatorname {d} t^{i}$ est en effet une telle différentielle ; ce développement se réduit donc simplement à son dernier terme ${\frac {\operatorname {d} y_{i}}{\operatorname {d} x_{i}}}{\frac {\operatorname {d} ^{i}\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y_{1}}}\right)}{\operatorname {d} t^{i}}}\,;$ c’est donc aussi à ce dernier terme que se réduit la $(i+2)$^me colonne du développement de $X'\,;$ d’où il suit ce développement lui-même se réduit à

$X'={\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x_{1}}}\right)}{\operatorname {d} t}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x_{2}}}\right)}{\operatorname {d} t^{2}}}-\ldots \pm {\frac {\operatorname {d} ^{n}\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x_{n}}}\right)}{\operatorname {d} t^{n}}}$

$+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} y_{1}}{\operatorname {d} x_{1}}}{\frac {\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y_{1}}}\right)}{\operatorname {d} t}}+{\frac {\operatorname {d} y_{2}}{\operatorname {d} x_{2}}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y_{2}}}\right)}{\operatorname {d} t^{2}}}-\ldots \pm {\frac {\operatorname {d} y_{n}}{\operatorname {d} x_{n}}}{\frac {\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y_{n}}}\right)}{\operatorname {d} t^{n}}}\,;$

mais il est visible que

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} y_{1}}{\operatorname {d} x_{1}}}={\frac {\operatorname {d} y_{2}}{\operatorname {d} x_{2}}}=\ldots ={\frac {\operatorname {d} y_{n}}{\operatorname {d} x_{n}}}\,;$

donc, on aura

$X'=X+Y{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\,;$

puis donc que la condition d’intégrabilité est, dans le cas présent $X'=0,$ cette condition sera

$X\operatorname {d} x+X\operatorname {d} y=0\quad$ou$\quad Xx_{1}+Yy_{1}=0.$

Cette conclusion est exactement celle de Lagrange dans sa 21.^e leçon sur le Calcul des fonctions^[1].

1. Voyez la page 412 de l’édition in-8.^o ou la page 12 du supplément in-4^o.