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$Ax+By+Cz=D,\qquad$(2)

qui, combinée avec (1), la réduit à

$(z-c)(z-c')(z-c'')=0\,;\qquad$(3)

ce qui montre que si, par chacun des trois points fixes, on mène un plan parallèle au plan fixe, les trois plans, ainsi menés, couperont le plan des trois points fixes suivant trois droites parallèles appartenant à la surface dont il s’agit. Ces trois droites, au sur-plus, ne sont autre chose que des parallèles menées par les trois points fixes à l’intersection du plan de ces trois points avec le plan fixe.

Les équations d’une parallèle quelconque à cette intersection sont

$Ax+By+Cz=D',\quad$et$\quad z=C'.\qquad$(4)

Pour savoir si cette parallèle coupe la surface dont il s’agit et en quels points, il faudra combiner ces deux dernières équations avec l’équation (1), ce qui donnera

$(D'-D)C'^{2}\operatorname {Sin} .\gamma =2k^{2}(C'-c)(C'-c')(C'-c'')\,;$

équation qui ne pourra être qu’absurde ou identique, d’où il suit que, suivant les valeurs de $C'$ et $D',$ la droite (4) ne percera pas la surface dont il s’agit ou bien s’y trouvera entièrement située ; ce qui nous montre que cette surface est une surface cylindrique du troisième degré, ayant ses élémens parallèles à l’intersection du plaa fixe avec celui des trois points fixes.

Prenons cette intersection pour axe des $y,$ ses équations sont