Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/313

${\begin{alignedat}{2}{\frac {x-a}{z-c}}=&{\frac {a-p}{c}},&{\frac {y-b}{z-c}}=&{\frac {b-q}{c}},\\\\{\frac {x-a'}{z-c'}}=&{\frac {a'-p'}{c'}},&{\frac {y-b'}{z-c'}}=&{\frac {b'-q'}{c'}},\\\\{\frac {x-a''}{z-c''}}=&{\frac {a''-p''}{c''}},\qquad &{\frac {y-b''}{z-c''}}=&{\frac {b''-q''}{c''}}\,;\end{alignedat}}$

équations d’où on tire

${\begin{alignedat}{2}p\ =&{\frac {az-cx}{z-c}},&q\ =&{\frac {bz-cy}{z-c}},\\\\p'\,=&{\frac {a'z-c'x}{z-c'}},&q'\,=&{\frac {b'z-c'y}{z-c'}},\\\\p''=&{\frac {a''z-c''x}{z-c''}},&\qquad q''=&{\frac {b''z-c''y}{z-c''}}.\end{alignedat}}$

Or, si l’on désigne par $k^{2}$ l’aire constante du triangle intercepté sur le plan des $xy,$ en désignant par $\gamma$ l’angle que comprennent les axes des $x$ et des $y,$ on aura, comme l’on sait

$(pq'-p'q+p'q''-p''q'+p''q-pq'')\operatorname {Sin} .\gamma =2k^{2}\,;$

sur quoi il faudra remarquer que $k^{2}$ peut être indifféremment positif ou négatif.

En mettant dans le premier membre de cette équation pour $p,p',p'',q,q',q''$ les valeurs déterminées ci-dessus, elle devient