d’où
mais on doit avoir
donc, en substituant,
substituant enfin dans cette dernière équation, pour et les valeurs données par les équations des deux droites, il viendra, en chassant les dénominateurs, pour l’équation de la courbe cherchée,
équation qui appartient essentiellement à une hyperbole passant par les deux points donnés.
Il est clair que, pour chacun de ces deux points, l’une des droites qui devront intercepter la longueur donnée sur l’axe des sera la droite passant par l’une et l’autre, tandis que l’autre sera la tangente au point dont il s’agit, laquelle conséquemment doit couper l’axe des à une distance du point où il est coupé par la droite qui contient les deux points fixes.
Quelle que soit la longueur on peut toujours par les points fixes conduire deux droites parallèles entre elles qui interceptent cette même longueur sur l’axe des ces parallèles indiqueront évidemment la direction de l’une des asymptotes qui sera la parallèle à ces droites également distante de l’une et de l’autre ; quant à l’autre asymptote, ce sera toujours l’axe des On voit par là que si la distance entre les projections des points fixes sur l’axe des était égale à l’hyperbole serait équilatère.
Si les deux points fixes étaient sur une parallèle à la droite donnée ; c’est-à-dire, si l’on avait l’hyperbole se changerait en deux parallèles à l’axe des ce qu’il est d’ailleurs facile de vérifier par des considérations géométriques.
