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$\operatorname {F} \left\{x-\varphi (p),y-\psi (p)\right\}=0,$

il faut ; après l’avoir différentiée, égaler séparément à zéro et le multiplicateur de $\operatorname {d} p$ et la partie qui en est indépendante. Or, si l’on désigne respectivement par $P$ et $Q$ les dérivées du premier membre de cette équation, prises par rapport aux deux binômes $x-\varphi (p),\ y-\psi (p),$ considérés comme deux variables, sa différentielle sera

$P\operatorname {d} x+Q\operatorname {d} y-\left\{P\varphi '(p)+Q\psi '(p)\right\}\operatorname {d} p=0\,;$

afin donc que cette équation admette une solution particulière, il faudra qu’on ait séparément

$P\operatorname {d} x+Q\operatorname {d} y=0,\qquad P\varphi '(p)+Q\psi '(p)=0,$

équations entre lesquelles éliminant le rapport de $P$ à $Q,$ on obtiendra

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\quad$ou$\quad p={\frac {\psi '(p)}{\varphi '(p)}},\quad$c’est-à-dire,$\quad \varphi '(p)=p\varphi '(p).$

qui est précisément la relation (II), nécessaire pour que l’équation admette une intégrale de la forme

$\operatorname {f} (x-\alpha ,y-\beta )=0\,;$

ce qui démontre déjà la première partie de la proposition.

2.^o Réciproquement, soit

$\operatorname {f} (x-\alpha ,y-\beta )=0,$