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$a'={\frac {a}{\operatorname {Cos} .\varepsilon }},\quad b'={\frac {b}{\operatorname {Cos} .\varepsilon }},\quad c'={\frac {c}{\operatorname {Cos} .\varepsilon }}.\qquad$(6)

substituant donc, nous aurons

$bc\operatorname {Cos} .\alpha +ca\operatorname {Cos} .\beta +ab\operatorname {Cos} .\gamma =2k'^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\varepsilon ,$

ou, en vertu de l’équation (2),

$k^{2}=k'^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\varepsilon .$

Ainsi, l’aire du nouveau triangle sera égale à celle du triangle dont les sommets sont les pieds mêmes des perpendiculaires, divisée par le quarré du cosinus de l’angle que forment les obliques avec elles. Donc, pour que l’aire de ce premier triangle soit constante, il est nécessaire et il suffit que l’aire de l’autre le soit, et conséquemment le lieu des points, qui rempliront cette condition sera encore ici, comme dans le premier cas, une circonférence concentrique à celle du cercle circonscrit.

On voit, en particulier, que, si de l’un quelconque des points de la circonférence du cercle circonscrit à un triangle, on abaisse, sur les directions de ses côtés, des obliques également inclinées dans le même sens sur ces mêmes côtés, les pieds de ces obliques appartiendront tous trois à une même ligne droite.

Nous terminerons par observer qu’en général le lieu des points du plan d’un polygone quelconque desquels abaissant des perpendiculaires sur les directions de ses côtés, le polygone inscrit au premier, dont les sommets consécutifs sont les pieds de ces perpendiculaires, a une aire constante, est une ligne du second ordre.