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Mais, si l’on désigne par $a',b',c'$ les trois côtés du triangle donné, on aura

$a'^{2}+b'^{2}-c'^{2}=2a'b'\operatorname {Cos} .\gamma ,$

ou en mettant pour les trois côtés leurs valeurs $2r\operatorname {Sin} .\alpha ,2r\operatorname {Sin} .\beta ,2r\operatorname {Sin} .\gamma$ et divisant par $4r^{2}$

$\operatorname {Sin} .^{2}\alpha +\operatorname {Sin} .^{2}\beta -\operatorname {Sin} .^{2}\gamma =2\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma .$

En introduisant donc cette valeur dans l’équation (3) elle deviendra

$2r(b\operatorname {Sin} .\alpha +a\operatorname {Sin} .\beta )\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .\gamma -\left(a^{2}+b^{2}\right)\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta$

$-ab\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Cos} .^{2}\gamma =2k^{2}\operatorname {Sin} .\gamma .\qquad$(4)

Rapportons présentement le point $\mathrm {P}$ aux deux côtés de l’angle $\gamma ,$ pris pour axes des coordonnées, c’est-à-dire, aux deux côtés du triangle donné sur les directions desquels tombent les perpendiculaires $a$ et $b,$ le premier étant pris pour axe des $x$ et l’autre pour axe des $y.$ En représentant par $x$ et $y$ les deux coordonnées du point $\mathrm {P}$ parrallèles à ces axes, nous aurons

$a=y\operatorname {Sin} .\gamma ,\qquad b=x\operatorname {Sin} .\gamma ,$

valeurs qui, substituées dans l’équation (4) donneront, en réduisant,

$x^{2}+y^{2}+2xy\operatorname {Cos} .\gamma -2rx\operatorname {Sin} .\alpha -2ry\operatorname {Sin} .\beta +{\frac {2k^{2}}{\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .\gamma }}=0\,;$

équation qui appartient évidemment à un cercle et qui peut facilement être mise sous cette forme