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$a\operatorname {Sin} .\alpha +b\operatorname {Sin} .\beta +c\operatorname {Sin} .\gamma =2r\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .\gamma .\qquad$(1)

Le triangle qui a ses sommets aux pieds des trois perpendiculaires $a,b,c$ est lui même décomposé, par ces perpendiculaires en trois autres ; et, en remarquant que les angles que forment ces perpendiculaires deux à deux sont les supplémens respectifs des trois angles du triangle donné, nous aurons, pour les aires de ces triangles partiels,

${\frac {1}{2}}bc\operatorname {Sin} .\alpha ,\qquad {\frac {1}{2}}ca\operatorname {Sin} .\beta ,\qquad {\frac {1}{2}}ab\operatorname {Sin} .\gamma \,;$

de sorte qu’en désignant par $k^{2}$ l’aire du triangle total, on aura

$bc\operatorname {Sin} .\alpha +ca\operatorname {Sin} .\beta +ab\operatorname {Sin} .\gamma =2k^{2}.\qquad$(2)

Pour rendre cette dernière équation appliquable à toutes les situations du point $\mathrm {P} ,$ que nous avons d’abord supposé intérieur au triangle donné, il faudra avoir égard aux signes des perpendiculaires $a,b,c$ qu’il faudra prendre positives ou négatives, suivant qu’en partant de leurs pieds elles se dirigeront vers l’intérieur ou vers l’extérieur de ce triangle. Cette circonstance pourra quelquefois rendre $k^{2}$ négatif, ce qui, géométriquement parlant ne sera d’aucune conséquence, attendu que, dans la géométrie proprement dite, toutes les grandeurs sont supposées absolues ; mais lorsqu’au contraire on voudra envisager les choses sous le point de vue analitique, il faudra avoir égard au signe de $k^{2}.$

Cela posé, cherchons quel doit être le lieu des divers points $\mathrm {P}$ qui rendent constante l’aire à $k^{2}$ du triangle qui a ses sommets aux pieds des trois perpendiculaires. Eliminons d’abord $c$ entre les équations (1) et (2), nous trouverons ainsi

$2r(b\operatorname {Sin} .\alpha +a\operatorname {Sin} .\beta )\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .\gamma -\left(a^{2}+b^{2}\right)\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta$

$-ab\left(\operatorname {Sin} .^{2}\alpha +\operatorname {Sin} .^{2}\beta -\operatorname {Sin} .^{2}\gamma \right)=2k^{2}\operatorname {Sin} .\gamma .\qquad$(3)