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Autre démonstration du même théorème ;

Par M. Ch. Sturm.

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Soient $\alpha ,\beta ,\gamma$ les trois angles du triangle donné, et $r$ le rayon du cercle circonscrit ; il est aisé de voir que les côtés respectivement opposés à ces angles seront

$2r\operatorname {Sin} .\alpha ,\qquad 2r\operatorname {Sin} .\beta ,\qquad 2r\operatorname {Sin} .\gamma .$

Si d’un point $\mathrm {P} ,$ situé comme on voudra dans l’intérieur du triangle on abaisse des perpendiculaires $a,b,c$ sur les directions de ses trois côtés, ces perpendiculaires seront les hauteurs de trois triangles ayant pour bases les trois côtés du premier et leur sommet commun au point $\mathrm {P} \,;$ les aires de ces triangles seront respectivement

$ra\operatorname {Sin} .\alpha ,\qquad rb\operatorname {Sin} .\beta ,\qquad rc\operatorname {Sin} .\gamma ,$

et la somme de ces aires sera l’aire du triangle donné. Mais on sait qu’on obtient aussi cette dernière en divisant le produit des trois côtés du triangle par le quadruple du rayon du cercle circonscrit ; ce qui donne

${\frac {2r\operatorname {Sin} .\alpha .2r\operatorname {Sin} .\beta .2r\operatorname {Sin} .\gamma }{4r}}\quad$ou$\quad 2r^{2}\operatorname {Sin} .\alpha .\operatorname {Sin} .\beta .\operatorname {Sin} .\gamma$

on aura donc, en divisant par $r,$