THÉORÈME. Si deux cercles concentriques au cercle circonscrit à un triangle, l’un intérieur et l’autre extérieur à celui-là, sont tels que la tangente à l’intérieur terminée de part et d’autre au circonscrit soit égale à la tangente au circonscrit terminée de part et d’autre à l’extérieur de quelque point de la circonférence de l’un ou de l’autre de ces deux cercles qu’on abaisse des perpendiculaires sur les directions des trois côtés du triangle, le triangle qui aura ses sommets aux pieds de ces trois perpendiculaires aura toujours la même surface, laquelle sera égale au quarré de la tangente dont il vient d’être question multiplié par les moitiés des sinus des angles du triangle proposé.
Quelque grand que soit d’ailleurs le rayon d’un cercle concentrique au cercle circonscrit à un triangle donné ; de quelque point de la circonférence du premier de ces deux cercles qu’on abaisse des perpendiculaires sur les directions des trois côtés de ce triangle, le triangle qui aura ses sommets aux pieds de ces perpendiculaires aura toujours une aire constante, et d’autant plus grande que le rayon de ce cercle aura été pris plus grand ; mais si ce rayon est plus grand que la diagonale du quarré construit sur le rayon du cercle circonscrit, il n’y aura plus de cercle intérieur qui puisse donner naissance à un triangle de pareille surface.
En particulier, de quelque point de la circonférence du cercle circonscrit à un triangle qu’on abaisse des perpendiculaires sur les directions de ses trois côtés, le triangle dont les sommets seront les pieds de ces perpendiculaires aura une aire nulle, c’est-à-dire que ces trois points seront en ligne droite[1].
- ↑ Cette dernière partie du théorème avait déjà été démontrée, tom. IV, pag. 251.
